Teoria prognozowania

Model liniowy

          Prognozowanie stóp zwrotu instrumentów finansowych oparte jest na badaniu zależności i wyszukiwaniu związków między zmiennymi. Jeżeli w miarę wzrostu wartości jednej zmiennej, rosną także wartości innej zmiennej to możemy powiedzieć, że istnieje zależność między nimi. Możena przedstawić ją na wykresie umieszczając na jednej osi obserwacje wyjaśnianego szeregu czasowego, a na drugiej wielkości, które wyjaśniają ten szereg. Wykres taki znajduje się poniżej.

model-liniowy.JPG
          Jeżeli zmienne zachowują się w sposób przedstawiony jak na tym wykresie, to istnieje dla takich zmiennych związek liniowy. Zauważmy, że jeżeli przeprowadzimy prostą pomiędzy punktami na tym wykresie, wyznaczymy jej parametry oraz będziemy znali zmienne objaśniające to na tej podstawie będziemy mogli dokonać prognozy wartości Y. W przypadku braku zależności między zmiennymi wykres ten wyglądałby tak:

model-liniowy-dwa.JPG
          W tym przypadku widać, że bez względu na wartości x, zmienna y przyjmuje dowolne wielkości. Nie zachodzi, więc między nimi zależność. Możemy poprowadzić prostą przez te punkty, jednak jej współczynnik kierunkowy wynosił będzie zero. Równanie prostej przechodzącej przez układu współrzędnych jest funkcją postaci:

y = a + bx + ε

gdzie w naszym przypadku:

y – zmienna zależna (wyjaśniana);

a,b – parametry prostej;

x – zmienna niezależna (objaśniająca)

ε – reszta modelu (błąd losowy, o którym zakłada się, że ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej równej zero)

          W przypadku, gdy zmienne objaśniane leżałyby dokładnie na prostej, błąd ε nie występowałby w tym równaniu.

          Rzadko zwłaszcza na rynkach finansowych, dany szereg czasowy zależy tylko od jednej zmiennej objaśniającej. W takim przypadku możemy użyć modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi. Będziemy wtedy mieli do czynienia z płaszczyzną najlepiej dopasowaną do danych empirycznych, a nie z prostą jak to było w przypadku jednej zmiennej objaśniającej. Równanie wyjaśniające zależności między wieloma zmiennymi będzie miało wtedy postać:

y = a + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X4 + bnXn + ε

gdzie:

bn – n-ty parametr b

xn – n-ta zmienna objaśniająca x

a – wyraz wolny (punk przecięcia z osią y)

ε - reszta modelu (błąd losowy)

Jedyne zmienne, których nie znamy to parametry a i b tego równania. Istnieje kilka sposobów ich oszacowania. Jedną z najprostszych i najszerzej wykorzystywanych jest klasyczna metoda najmniejszych kwadratów.

 

Zobacz także: