Teoria portfela

Teoria Harrego Markowitz`a

            Harry Markowitz, laureat Nagrody Nobla w roku 1990 za osiągnięcia w dziedzinie finansów, jest autorem nowoczesnej teorii portfelowej. W latach 50. XX wieku, stworzył nowatorski model oparty na oczekiwanej stopie zwrotu oraz na wariancji. Nowość polegała na dołączeniu do założenia o maksymalizacji zysku, założenia  dotyczącego minimalizacji ryzyka.
            Harry Markowitz zauważył, iż można uzyskać jednakową oczekiwaną stopę zwrotu
z portfela przy różnych poziomach ryzyka – mierzonego odchyleniem standardowym
( pierwiastek kwadratowy z wariancji) dzięki zmianom udziałów poszczególnych pozycji aktywów finansowych. Dywersyfikacja niweluje ryzyko portfela dzięki, wzajemnym powiązaniem między aktywami zwanymi korelacją.
            Z teorii Harrego Markowitz`a jasno wynika, iż istnieje dużo portfeli papierów wartościowych ( różniących się między sobą składem, udziałami poszczególnych pozycji)
o założonej oczekiwanej stopie zwrotu i różnych poziomach ryzyka. Dzięki takiej dedukcji staje się oczywiste, iż portfel, który charakteryzuje się najmniejszą stopą ryzyka – odchyleniem standardowym, będzie najbardziej atrakcyjny dla inwestorów, jest to tak zwany efektywny portfel.
            Wadami tego modelu jest fakt wyliczania optymalnych udziałów w portfelu na podstawie danych historycznych. Kolejną wadą jest możliwość osiągnięcia diametralnie różnych wyników, jeśli tylko zmienimy o okres z którego będą pochodzić punkty pomiaru służące do dostarczenia danych dla obliczeń.
             W celu wyznaczenia efektywnego portfela należy obliczyć oczekiwaną stopę zwrotu dla każdego aktywa, które ma wchodzić w skład portfela, jego odchylenie standardowe oraz korelacje między papierami wartościowymi. Wszystkie miary należy wyznaczyć na podstawie danych historycznych danych spółek – jednakże należy pamiętać, aby wszystkie wielkości pochodziły z tego samego okresu.
            Aby wyliczyć udziały w efektywnym portfelu, należy przeprowadzić szereg obliczeń, począwszy od wyznaczenia historycznej stopy zwrotu za pomocą wzoru:
 
Ri(t)= [Pi(t) - Pi(t-1) + Di(t)] / Pi(t-1)        (1.1)
 
gdzie:
Pi(t)     - cena i-tej akcji osiągnięta w t okresie
Pi(t-1)  - cena i-tej akcji osiągnięta w t-1 okresie
Di(t)     - dywidenda wypłacona w t-1 okresie
 
Kolejnym etapem obliczeń jest wyznaczenie ryzyka z poszczególnych akcji mierzonego wariancją (Vi), bądź też jej pierwiastkiem kwadratowym– odchyleniem standardowym (Si):
 
Vi = ∑( Ri(t)- Ri)2 / (N-1)                   (1.2)
Si = [ ∑( Ri(t)- Ri)2 / (N-1) ]1/2          (1.3)
 
Powyższe wartości można również wyznaczyć dla efektywnego portfela, opierając się na założeniu, że:
 
∑ wi = 1           (1.4)
 
Na tej podstawie, średnia oczekiwana stopa zwrotu z portfela, będzie równa średniej ważonej średnich stóp zwrotu z poszczególnych akcji:
 
Rp=∑ wiRi       (1.5)
 
Ryzyko portfela przedstawione za pomocą wariancji, można opisać wzorem:
 
Vp = ∑∑wiwjSiSj[∑(Ri(t)- Ri)( Rj(t)- Rj)/(∑( Ri(t)- Ri)2∑( Rj(t)- Rj)2)1/2]            (1.6)
 
Gdzie wartość w nawiasie przedstawia współczynnik korelacji liniowej Pearsona dla j-tej oraz i-tej akcji.
 
W celu wyznaczenia efektywnego portfela, charakteryzującego się z góry określoną oczekiwaną stopą zwrotu należy rozwiązać równanie macierzowe, które ma postać:
 
q =G-1 J        (1.7)
 
gdzie:
q – jest wektorem n+2 elementowym, pierwsze n elementów stanowią udziały spółek
w efektywnym portfelu, ostatnie dwa elementy są mnożnikiem Lagrange`a
G – macierz n+2 x n+2, w której:
gii – 2si2 dla i= 1,2,…,n
gij – 2si x sj * ςij    
ςij   - korelacja składnika i-tego z j-tym
gi,n+1= gn+1,i  = 1 
gi,n+2 = gn+2,i = Ri
gn+1,n+1= gn+1,n+2 = gn+2,n+1 = gn+2,n+2 = 0
J – wektor n+2 , w którym pierwsze n wyrazów 0 , n+1 wynosi 1 , ostatni zaś równa się pożądanej stopie zwrotu w przeciągu jednego okresu
 
 
Aby wyznaczyć portfel charakteryzujący się minimalnym ryzykiem przypadającym na jednostkę oczekiwanego zysku, należy rozwiązać równanie:
 
q =G-1 J0          (1.8)
 
gdzie:
q – jest wektorem n+1 elementowym, pierwsze n elementów stanowią udziały spółek
w efektywnym portfelu, ostatni elementy jest mnożnikiem Lagrange`a
G – macierz n+1 x n+1, w której:
gii – 2si2 dla i= 1,2,…,n
gij – 2si x sj * ςij    
gi,n+1 = gn+1,i  = 1 
gn+1,n+1= 0
J – wektor n+1 , w którym pierwsze n wyrazów 0 , n+1 wynosi 1
 
 
 
Autor:
Krzysztof Engel