Strona główna

Wycena opcji

          Przy zawieraniu jakichkolwiek transakcji, czy to handlowych czy na rynkach finansowych, kluczową kwestią jest cena, po której transakcja zostanie zawarta. Europejska opcja kupna daje prawo jej nabywcy do kupna określonego instrumentu bazowego po z góry określonej cenie i w określonym czasie. Ile według naszej oceny powinniśmy zapłacić za takie prawo? Jak można się domyśleć wycena opcji nie należy do zadań łatwych, o czym może świadczyć także fakt, iż twórcy modelu wyceny opcji otrzymali Nagrodę Nobla za osiągnięcia w tej dziedzinie. Spróbujmy jednak rozwikłać tą zagadkę.

          Przy wycenie wszystkich instrumentów finansowych postępuje się w bardzo podobny sposób. Należy najpierw ustalić wartość przepływów pieniężnych w przyszłości, a następnie zdyskontować je odpowiednią stopą dyskontową. W przypadku obligacji przyszłe przepływy to kupony odsetkowe, plus zwrot zainwestowanej kwoty, a w przypadku akcji - dywidendy lub wolne przepływy gotówkowe. Implikuje to w konsekwencji model wyceny DDM lub DCF. W ten sam sposób możemy wycenić europejską opcje kupna. Należy w tym celu dokonać symulacji wielu możliwych zachowań instrumentu bazowego, na który wystawiona jest opcja, dla każdej z tych możliwych scenariuszy obliczyć wartość przyszłych przepływów według formuły max(0, spot-strike), a ich wartość średnia po zdyskontowaniu do wartości obecnej będzie przybliżoną wartością opcji kupna. W taki sposób zresztą wycenia się opcje w praktyce – metoda ta nosi nazwę symulacji Monte Carlo. Przeanalizujmy więc pewien przykład. Załóżmy, że chcemy wycenić opcje na indeks WIG20, z ceną wykonania 3000 i z terminem wygaśnięcia jeden rok. Obecna wartości indeksu WIG20 to 3000. Poniżej znajduje się wykres przedstawiający 10000 możliwych realizacji indeksu WIG20 w przeciągu roku (historyczna średnia 20% odchylenie standardowe 20%).

          Następnie dla każdego z tych scenariuszy należy obliczyć wartość przyszłych przepływów według formuły max(0, spot – strike). Aby otrzymać przybliżoną wartość opcji - wartość średnią tych przepływów należy zdyskontować do wartości obecnej (stopa wolna od ryzyka – 5%). Wynik, jaki otrzymamy z tych obliczeń to 559 zł. Jeżeli postąpimy w analogiczny sposób dla opcji put (według formuły max(0,strike-spot)) to wartość ta wyniesie 43 zł.

          Wydaje się ze metoda wyceny, którą zastosowaliśmy powyżej jest poprawna. Przeanalizujemy jednak pewien przykład. Załóżmy, że inwestor zastosuje następującą strategię. Sprzeda opcje call, kupi opcje put i kupi indeks WIG20. Wykres przedstawiający zysk/stratę takiego portfela zamieszczono poniżej.

          Z wykresu wynika, że inwestycja ta jest pozbawiona ryzyka natomiast zysk, jaki zrealizuje inwestor wyniesie (559-43)/(3000 – 559+43) = 20%. Wszyscy inwestorzy będą zainteresowani tą strategią (zysk 20% bez ryzyka!!!), więc pojawi się silna podaż opcji call, popyt na opcje put i indeks WIG20. W wyniku tego na rynku terminowym ceny powinny zrównoważyć się do poziomów - 313,51 dla opcji call i 167,21 dla opcji put. Przy tych cenach zgodnie z teorią arbitrażu zysk na tej strategii wyniesie dokładnie tyle ile wynosi stopa procentowa wolna od ryzyka (5%). Ceny opcji – 313,51 i 167,21 - otrzymamy z symulacji Monte Carlo w przypadku, gdy generowane będą scenariusze dla parametrów: średnia – 5% (stopa wolna od ryzyka) i odchylenie standardowe 20%. Teoria arbitrażu wymusza, więc by wyceniając opcje jakąkolwiek metodą zakładać, że inwestorzy pozostają obojętni wobec ryzyka.

         Generowanie dużej liczby scenariuszy byłoby kłopotliwe przy wycenie opcji w praktyce. Możliwe jest także obliczenie ich cen na podstawie następujących wzorów:

Opcja kupna:

Opcja sprzedaży:

Gdzie:

a:

ln – logarytm naturalny
e – stała (2.7182818)
S – cena instrumentu bazowego (spot)
X – cena wykonania opcji (strike)
r – stopa wolna od ryzyka
σ – odchylenie standardowe
N(x) – dystrybuanta rozkładu normalnego
T – czas

Wzory te znane są jako model wyceny opcji Blacka-Sholesa. Możemy wycenić opcje z przykładu powyżej za pomocą tego modelu. Otrzymamy wtedy:

Z przykładu widać, że wyniki okazały się takie same jak w symulacji Monte Carlo.

Zobacz także: