Wstęp

Modelowanie rozkładu stóp zwrotu szeregów czasowych

          W praktycznych zastosowaniach na rynkach finansowych przyjmuje się często założenie mówiące, że stopy zwrotu z instrumentów finansowych mają rozkład normalny. Jest to wygodne podejście gdyż poszczególne wartości tego prawdopodobieństwa zostały stablicowane, a także każdy arkusz kalkulacyjny oblicza w szybki sposób szukane prawdopodobieństwo. Należy jedynie dla danego szeregu czasowego obliczyć średnią i odchylenie standardowe. Założenie takie jest także właściwe ze względów formalnych. Możliwość stosowania rozkładu normalnego w wielu dziedzinach ścisłych, w tym w finansach wynika wprost z centralnego twierdzenia granicznego. Mówi ono, że można stosować rozkład normalny dla każdej ciągłej zmiennej losowej, jeżeli poszczególne wartości tej zmiennej są niezależne, pojedyncze obserwacje pochodzą z tego samego niekoniecznie znanego rozkładu oraz dysponujemy dostateczną liczbą obserwacji (większą niż 30). Finansowe szeregi czasowe spełniają wszystkie te założenia. Zbadajmy, więc czy stopy zwrotu z indeksów WIG20 i S&P500 rzeczywiście posiadają rozkład normalny. Poniżej znajduje się wykresy empirycznych rozkładów stóp zwrotu tych indeksów w porównaniu z teoretycznym rozkładem normalnym (linia czerwona) dla danych dziennych i miesięcznych.

Z wykresów wynika, że rozkład empiryczny różni się od teoretycznego rozkładu normalnego. Rozkład empiryczny jest bardziej smukły (zjawisko to w statystyce określane jest jako leptokurtoza) oraz posiada grube ogony (gęstość prawdopodobieństwa na końcach rozkładów jest większe niż w rozkładzie normalnym). Dla danych miesięcznych możemy także zaobserwować efekt skośności. W teście chi – kwadrat hipotezę zerową mówiącą, że zmienna x posiada rozkład normalny należy odrzucić we wszystkich przypadkach przy poziomie istotności 0.05. Możemy, więc powiedzieć, że stopy zwrotu z indeksów WIG20 i S&P500 nie mają rozkładu normalnego. Prawie wszystkie finansowe szeregi czasowe wykazują większe lub mniejsze odstępstwa od tego rozkładu. Podobne wyniki otrzymamy także dla innych indeksów, kursów akcji, walut, towarów giełdowych.

          W praktycznych zastosowaniach na rynkach finansowych założenie o normalności rozkładu stóp zwrotu szeregów czasowych występuje dość często. Na podstawie rozkładu normalnego oblicza się między innymi prawdopodobieństwo zysku lub straty z danej inwestycji, wartość narażoną na ryzyko (VAR), weryfikuje się hipotezy o występowaniu zależności między zmiennymi (np. zależności między indeksem akcji a dynamiką PKB). W modelu wyceny opcji Blacka-Scholesa także zakłada się normalność rozkładu stóp zwrotu instrumentu bazowego, a przy wykorzystaniu KMNK stosowanej w prognozowaniu stóp zwrotu szeregów czasowych jest to częścią założeń by zmienne mogłyby być estymowane tą metodą. Założenie o normalności stóp zwrotu występuje, więc w najważniejszych obszarach finansów – modelach wyceny, prognoz, szacowania ryzyka czy weryfikacji teorii ekonomicznych.

          Niespełnienie przez większość finansowych szeregów czasowych tego założenia pociąga za sobą znaczne implikacje w tych jak i wielu innych dziedzinach. Dla szeregów czasowych, dla których zaobserwowano odstępstwa od rozkładu normalnego, konieczne jest modelowanie ich stóp zwrotu z zastosowaniem innych - lepiej dopasowanych do danych empirycznych rozkładów teoretycznych. Znana jest dość liczna grupa rozkładów, które mogą być wykorzystane w takich przypadkach. Są to min. rozkład t i skośny rozkład t, GED czy rozkłady stabilne. Ich stosowanie pozwala między innymi na lepszą identyfikację ryzyka inwestycyjnego, właściwą weryfikację hipotez ekonomicznych oraz wyznaczanie trafniejszych prognozy. Są to czynniki mające wpływ na efektywność inwestycji, dlatego modelowanie finansowych szeregów czasowych z wykorzystaniem tych rozkładów przeżywa obecnie swój dynamiczny rozwój. Jest to niewątpliwie ciekawy i godny uwagi nurt współczesnych finansów.

Zobacz także: