Strona główna

Geometryczny ruch Browna

          Jeżeli przyjmiemy założenie, że występuje pewne ryzyko związane z inwestycjami np. w akcje, oznacza to, że ich zachowanie w przyszłości możemy potraktować jako proces losowy (błądzenie losowe). Wartość oczekiwaną takiego procesu możemy opisać za pomocą średniej, a jego zmienność za pomocą odchylenia standardowego. Model opisujący zachowanie się cen akcji na giełdzie lud dowolnego szeregu czasowego za pomocą tych dwóch parametrów nosi nazwę geometrycznego ruchu Browna (lub wymiennie nazywany procesem Wienera). Jego postać dyskretna wyraża się wzorem:

brown-jeden.JPG

 

 

 

gdzie:

P – cena instrumentu finansowego

(P – P0)/P0 – prosta stopa zwrotu

rśr – wartość oczekiwana (średnia)

σ – odchylenie standardowe

t – czas

Δ - przyrost

ε – proces losowy, w którym kolejne zmienne losowe są niezależne oraz mają standaryzowany rozkład normalny N(0,1) (średnia zero i odchylenie standardowe jeden)

          Z powyższego równania wynika, że poszczególne historyczne wykresy szeregów czasowych są jedynie pojedynczymi realizacjami tego procesu. Poniżej znajduje się wykres przedstawiający możeliwe realizacje tego procesu w przeciągu roku. Tylko jedna z nich okzaże się prawdziwa w przyszłości.

Geometryczny ruch Browna

          Geometryczny ruch Browna ma jeszcze jedną ważną cechę, na którą niewiele osób zwraca uwagę. A mianowicie - w modelu tym wartość oczekiwana rozchodzi się w czasie jako zwykły iloczyn średniej i jednostki czasu (rśrΔt), podczas gdy ryzyko jako iloczyn pierwiastka czasu i parametru opisującego zmienność (σΔt). Zobaczmy, co się stanie, jeżeli obliczymy średnią i odchylenie standardowe dla indeksu WIG20 dla okresów 1 dnia, 1 roku, 5 i 10 lat. W tym celu posłużymy się arkuszem kalkulacyjnym dostępnym tutaj.


Okres Średnia Odch st.
1 dzień 0.06% 1.42%
1 rok 15.31% 22.40%
5 lat 76.53% 50.08%
10 lat 153.07% 70.83%

 

Jak widać w miarę zwiększania horyzontu inwestycyjnego ryzyko rośnie ale w mniejszym stopniu niż wartość oczekiwana. Wielu inwestorów uważa, że ryzyko inwestycji jest większe im dłuższy jest horyzont inwestycyjny. I rzeczywiście tak jest, jednak relacja ryzyka do wartości oczekiwanej zmniejsza się wraz z wydłużaniem czasu inwestycji. Między innymi dlatego zaleca się dłuższy horyzont inwestycyjny w przypadku ryzykownych lokat.

Zobacz także: