Wstęp

Rozkład t

Rozkład normalny może być stosowany, jeżeli dysponujemy dostatecznie dużą liczbą obserwacji – większą niż 30. Ponieważ często w praktyce mamy do czynienia z niewielką liczbą danych, zaczęto szukać rozkładu, który lepiej opisywałby taką próbę. Takim rozkładem jest właśnie rozkład t (wymiennie nazywanym także rozkładem t-Studenta). Ponieważ dla niewielkiej próby istnieje dodatkowa niepewność związana z szacowanymi na ich podstawie parametrami - rozkład ten jest bardziej spłaszczony w porównaniu z rozkładem normalnym, oraz posiada „grube ogony” (oznacza to, że prawdopodobieństwo z obszaru dwóch odchyleń standardowych jest większe niż w rozkładzie normalnym co widać na wykresie zamieszczonym poniżej). Wzór na gęstość prawdopodobieństwa tego rozkładu wygląda następująco:
 
 
 
gdzie:  

- funkcja gamma

V - stopnie swobody
 
Zmienną t możemy zdefiniować jako:
 
Liczba stopni swobory (oznaczana także jako df – degrees of freedom) w tym rozkładzie, równa się liczbie obserwacji minus jeden. Jeżeli dysponujemy 20 obserwacjami to w tym przypadku mamy do czynienia z 19 stopniami swobody. Poniżej znajduje się wykres rozkładu t dla różnej liczby stopni swobody w porównaniu z rozkładem normalnym.
Jak widać w miarę wzrostu liczby stopni swobody rozkład ten dąży do rozkładu normalnego. Dla 30 stopni swobody rozkład ten można przybliżyć rozkładem normalny. Rozkład ten początkowo wykorzystywany był głównie do testowania hipotez. Jednak ze względu na jego własności wykorzystywany jest także do modelowania danych pochodzących z rynków finansowych. Jak wykazują badania empiryczne, stopy zwrotu instrumentów finansowych charakteryzują się często występowaniem między innymi „grubych ogonów” oraz leptokutrozy (rozkład empiryczny jest bardziej smukły w porównaniu z rozkładem normalnym). Wykres przedstawiający dopasowanie empirycznego rozkładu indeksu WIG20 do teoretycznego rozkładu normalnego i rozkładu t znajduje się poniżej.
 
 
Wynika z niego, że rozkład t jest lepiej dopasowany do rozkładu stóp zwrotu z indeksu WIG20 niż rozkład normalny. Istnieje także skośny rozkład t, który może być użyty w przypadku skośności danego rozkładu empirycznego.

Zobacz także: